88看书>都市现代>学霸的养成之路>第一百一十五章 最后一战(一)

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美国东部时间7月12日上午8点,imo第二天的考试正式开始。

坐在考场里,张伟还在想着程青锋他们——也不知道那几个家伙,会不会受昨天记者们的影响。

不过话说回来,这都已经进了考场了,担心再多好像也没啥鸟用,他现在唯一能管得了的,就只有他自己了。

收拾好心情,张伟开始专心对付起手上的试卷。

把三道题都审了一遍,整体难度比昨天的卷子大了不少——特别是最后那到压轴题,难得不止一点点啊!

最难的当然是放在最后,先做前面的:

第一题平面几何;

第二题代数。

虽然费了些手脚,但总的来说还算顺利,做完两题总共花了不到两个小时。

接下来就是最后一道压轴题,时间还有两个半小时,题目如下:

设n是一个正整数,考虑s={lx,y,z∈{0,1,2,,n},xyz0}是三维空间中3-1个点的集合。问:最少要多少个平面,它们的并集才能包含s,但不含(0,0,0)?

这应该是道糅杂了空间几何与代数的题,在imo的压轴题中,这种多知识交叉的题型出现的频率还是挺高的。

题目没有给出已知图形,需要考生自己在脑海中建立几何模型,这无疑增加了题目的难度。

张伟首先在脑海中将空间模型勾勒了一下,然后又在草稿纸上开始比划,可比划来比划去,对解题还是没有什么思路。

想把几何的部分暂时放一边吧,但由于卷子上没有给出图形,这要放下了,等会儿要捡起来就得再在脑海中构建一边——这无疑是件相当浪费时间和精力的事儿。

于是,只得硬着头皮继续研究几何模型,然后将近二十分钟就这样过去了

“没有头绪啊”晃了晃被模型搅得发胀的脑袋,张伟终于放弃了从几何部分做突破的尝试,他知道不能再继续钻几何的牛角尖了。

考奥数,最怕一条路走到黑,不撞南墙不回头的精神,在考场上可要不得。

张伟又把题目细细审了一遍,这次很快就有了发现:

显然可以构造3n个平面,满足其并集包含s但不包含(0,0,0),例如:平面x=i,y=i和z=i;再如平面集xyz=k

但“3n”这个答案是不是满足要求的最小值呢?张伟觉得应该是,但是光觉得还不行,他得证明的确是。

那么接下来的思路,就是要证明最少要“3n”个平面,它们的并集才能包含s,但不含(0,0,0)。

假设结论存在反推过程,最容易想到的是使用归纳法,而张伟也是这么操作的。

引理考虑k个变量的非零多项式,对k用归纳法证明引理,似乎行得通!当k=0时,由p≠0知结论成立假设结论对k-1成立,再证明结论对k成立

为了证明一个假设,后面需要证明更多个假设——这就像是对女朋友撒了一个谎,后面就需要用更多的谎言来圆这个慌!

无限循环简直看不到头啊!

一顿猛如虎的操作证明之后,还要证明degr≥nk!

但是特么到底要怎么证明degr≥nk啊!

思路被卡在这里,张伟有些躁了,再看看时间——11:30!最后这道题,已经花了一个半小时了,而剩余的时间,也只有一个小时了!

“意识分裂!”豪不犹豫的动用了大杀器,虽然还没想好该怎么分配两个意识,但再不用就没机会了!

这也是张伟大意了,实在是昨天的考试过于简单,三道题做下来才花了两个多小时,完全没给“意识分裂”登场的机会!

原以为imo的难度不过尔尔,没想到今天这道压轴题直接就难出天际了——不带这样玩的!

“不能急!”时间已经比较赶了,但张伟并没有拿起笔就干,越是这种时候越是要冷静!“归纳法现在还不能证明一定能走的通,也许该考虑考虑别的思路了”

心里有了计较。

孤注一掷,赢了固然痛快,但要是输了呢?

张伟不敢冒这个险,所以他决定用一个意识继续使用归纳法证明——以此为主;一个意识尝试新的思路,作为可能的备选。

两个意识疯狂的运转:

证明degr≥nk,将多项式r写成y的降幂形式如何?r(x1,x2,,x1,1,y)=(x1,x2,,xk-1)yn-1(x1,x2,,xk-1)yn-1r0(x1,x2,,xk-1)

除了容易想到的归纳法,有没有别的办法证明最少要“3n”个平面呢?比大小的话,差分法是个不错的选择,在这一题行不行得通呢?

归纳法的证明过程,越到后面算的越是艰难,反而以差分法的思路来往下推理,过程似乎并没有很复杂!

“要转变思路吗?”张伟在犹豫,“只有不到半个小时,现在再改用差分法求证,时间肯定来不及了,而且还不知道是不是行得通!”

时间在犹豫中,一分一秒的流逝,而归纳法的证明过程,也越来越陷入停滞。

“不能再等了,归纳法已经走不通了!”张伟还是决定改用差分法思路了,但他做出这个决定的时候其实并不坚决——因为时间真的不多了!

“来得及吗?”脑子里刚刚冒出这个想法,下一秒就被张伟压了下去——因为已经容不得他再犹豫了!

差分法:记多项式p次数为n,定义差分算子△满足△p=p-p,记i为恒等双子。

根据拉格朗日中值定理可知:△p=p-p=p’


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